【书 名】数值逼近
【作 者】杨畅, 史晓冉 著
【出版者】科学出版社
【索书号】O241.5/4757
【阅览室】自然阅览室
内容简介
《数值逼近》是根据理科数值逼近教学大纲要求及学科发展需要编写的，《数值逼近》共 6 章，包括绪论、项式插值、曲线曲面的拟合、正交多项式与函数逼近、数值 积分、有理逼近介绍。《数值逼近》以浅显的方法讲解理论，并配以大量的图例进行说明，力求做到让数值逼近的理论知识变得通俗易懂。
文摘
第1章 绪论
1.1 数值分析简介
随着数学在工程中应用的不断发展，许多的工程难题被抽象为各种数学模型。要实际解决这些工程难题，就必须找到其对应数学模型的解。然而，解决这些数学 模型面临着以下困难：
(1) 某些数学问题在理论上没有解决的方法，解决此类问题必须用数值计算 方法求其近似值。例如求多项式的根，若多项式的次数大于或等于五次，则无求根公式。
(2) 某些数学问题在理论上有解决方法，但在实际中并不实用，必须寻找新的行之有效的计算方法。例如克拉默 (Cramer) 法则，当线性方程组的系数矩阵非奇异时，可以给出线性方程组的解。但在实际计算中，当线性方程组的规模大于3 时，应用克拉默法则求解线性方程组是不实用的。因为克拉默法则中需要计算多个行 列式，而行列式的计算常常要消耗大量的计算资源。因此克拉默法则的计算效率非常低。
(3) 某些数学问题即使在实践中有解决的方法，仍然需要进行误差分析。这里涉及数值稳定性，会在1.3节中详细讲解。
由此可见，数值求解数学问题显得十分重要，而研究数值求解的方法和理论称为数值分析。数值分析中所研究的内容众多，主要分为三大类：数值逼近，即各种逼近问题的数值分析; 数值代数，即代数问题的数值计算方法及其有关理论; 微分方程数值求解，即常微分方程和偏微分方程的数值解法。
本书着重介绍数值逼近，包括函数插值、样条理论、函数及离散数据在特定意义下的逼近及数值积分等。这里提及的内容会在后续章节中逐一地讲解。
1.2 误差分析
1.2.1 误差的来源
在解决实际问题时，如果想要系统地研究问题，就必须将其抽象为数学模型。例如，在投射测试中，希望知道投射物的飞行距离。设投射物的实际飞行距离为 fp。又假设投射物的飞行轨迹可以由以下光滑曲线来逼近：其中di; i = 1，2，代表模型参数，例如投射角度、风速等。于是，投射物的飞行距离可以表示为因此，由数学建模所产生的误差为注意到数学模型 中的参数是通过测量得到的，而在测量过程中可能产生参数的误差 ±di; i = 1，2，则由测量误差导致的误差为。接着数学模型的求解过程中需要用到数值计算方法，得到的数值解为，而误差为。最后，在计算过程中，计算机数位长度的限制，也会对最终的计算结果产生影响。记最终得到的计算结果为，则相应的误差为。因此，由计算所产生的误差为，而全局误差为。
综上所述，误差的来源分为以下四种情况。
(1) 模型误差，即实际问题解与数学模型解之间的误差。
(2) 测量误差，即测量具体数据时产生的误差。
(3) 截断误差 (也称方法误差)，即数学模型的准确解与数值计算方法的解之间的误差。
(4) 舍入误差，即由计算机字长限制而产生的误差。
各误差之间的联系总结在图1.1中。
图1.1 误差的来源
1.2.2 误差的度量
对于同一个数学问题，采用不同的度量方法会得出不同的结果。一般度量误差的标准有以下三种形式。
1. 绝对误差与绝对误差限
定义1.2.1 设 x 为某个量的精确值，是它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称误差。一般情况下，精确值 x 是未知的，因此的绝对误差E()也就求不出来。但是如果能求出误差一个范围，则称为近似值的绝对误差限，简称误差限。
例1.2.1 设 x = 3:1415926535。若取 x 的一个近似值= 3:14159，则有; 称的误差限为
一个近似数的误差限并不，通常取满足 (n为整数) 的最小值。
2. 相对误差与相对误差限
绝对误差有时不能完全刻画一个近似数的精确程度。例如测量一个书桌和一个体育场的面积，误差都是1cm2。显然后者的测量更精确。因此，决定某量的近似值的精度，除了考虑绝对误差的大小，还要考虑该量自身的大小。
定义1.2.2 设 x 为某个量的精确值，是它的一个近似值，则称为近似值的相对误差。一般情况下，精确值 x 是未知的，因此在实际计算中常取作为的相对误差。若小于某个已知正数，即，则称为近似值的相对误差限。
例1.2.2 取x 和同例1.2.1，则有称的相对误差限为
3. 有效数字
当某量的精确值的位数较多时，通常采用四舍五入的方法取x 的前面若干位，作为x 的近似值。？
定义1.2.3 如果近似值的误差不超过最后一位数字的半个单位，若该位数字到的第一位非零数字共有n位，那么这n位数字称为的有效数字，并称具有n位有效数字。如果用数学语言表示，设其中ai; (i = 1，2，) 是0-9的整数，且a16= 0，k为整数。如果则称为x的具有n位有效数字的近似值。
例1.2.3 取x和同例1.2.1，且有故具有6位有效数字。
例1.2.4 设z = 0:0067379 ，近似值为容易验证故6，7 是的有效数字，而3不是有效数字。
4. 三种度量间的关系
绝对误差、相对误差和有效数字都是用来度量近似数的误差的，它们之间必然存在一定的联系。实际上，由相对误差的定义可知，相对误差与绝对误差的关系是：由有效数字的定义可知，有效数字与绝对误差的关系如下：若，则具有 n 位有效数字。而有效数字与相对误差的关系可由以下定理得到。
定理1.2.1 设 x 的近似值为 ，
(1) 若有n 位有效数字，则;
(2) 若，则至少具有n 位有效数字。
证明 (1) 由的定义有故当有n 位有效数字时，有即命题 (1) 得证。
(2) 又由的定义有根据命题 (2) 的条件有故具有n 位有效数字。即命题 (2) 得证。
1.2.3 先验估计和后验估计
数值方法的稳定性可以从不同角度来分析，其中主要分为先验估计和后验估计两类。
先验估计就是度量计算所得结果 fn 与真实结果 f 之间的误差。先验估计又分为向前误差分析和向后误差分析两种。
(1) 向前误差分析：即找到数值结果误差的一个上界。而这个误差可能是由初始数值的误差或者数值算法的截断误差造成的。
(2) 向后误差分析：假设不考虑计算误差的前提下，给出初始数据误差的估计。即将计算结果表示为，再将的上界估 计出来。
先验误差估计可以被用在数值方法稳定性的分析中，也可以用在收敛性分析中。
与先验误差估计不同，后验误差估计是基于数值方法已计算出来的数值结果，来给出误差估计。
例1.2.5 用分段梯形求积公式计算积分。设定积分准确值 I，当区间被划分为n 段时，用分段梯形求积公式求得的结果为In。当区间被划分为2n段时，用分段梯形求积公式求得的结果为 I2n。则三个量之间有如下关系 (具体分析过程参见 5.5 节)：
可见后验误差估计旨在将误差表示为如下形式：其中C为与n无关的常数。
后验误差分析在适应性方法中发挥着重要的作用。实际上，通过变化离散变量 (例如空间步长)，后验误差分析可以使得误差不超过某个固定的上限。这种应用适应性方式控制误差大小的方法称为适应性数值方法。误差是否超过某个固定的上限可以看作一种收敛测试。在实际计算中，先选择一个数值较大的离散变量，并计算相应的数值解。若数值解通过了收敛测试，则此数值解为所需要的解; 如若不然，按照一定的方式缩小离散变量，再重新计算数值解。重复以上过程，直到得到的数 值解通过收敛测试为止。
1.3 避免和减小误差的若干原则
根据数值计算的经验发现，舍入误差是不可避免的，而精确的误差估计通常是不可能的。所以在计算过程中要尽可能避免误差的危害，防止有效数字的损失。通过长期对误差产生原因的分析及误差传播规律的分析，人们总结出了以下若干计算原则。
1. 避免两个相近数相减
例1.3.1 设 x = 1000，计算y 的准确值为0.015807437428958。假设在计算中取 4 位有效数字计算，则，故。此时，结果只剩 1 位有效数字，相对误差为。可见相对误差超过了20％，严重影响了计算精度。
为了解释产生严重误差的原因，下面给出相对误差的一个估计：容易发现，当两个相近的数相减时，可见两数相减后的相对误差被放大了大约倍。
